Curiosidad del número de 6174 y la operación de Kaprekar

Mysterious number 6174 es un interesante artículo de Yutaka Nishiyama que explica la extrañísima propiedad del número 6174. Aunque nos parezca un número cualquiera, atesora un gran misterio por resolver, que en realidad se puede explicar fácilmente. En el artículo original se dan más detalles, y aparece un bonito puzzle matemático al final:

La operación de Kaprekar

Esta operación matemática llamada Operación de Kaprekar, es muy singular. Consiste tan sólo en reordenar los dígitos de un número de tal forma que se pueda obtener el mayor y el menor número posible, restando así el menor del mayor.

Esta operación se puede realizar con números de cualquier tamaño, y se puede repetir sistemáticamente una y otra vez. Resulta curioso lo que ocurre exactamente con cuatro cifras, siempre que no sean todas iguales. Un ejemplo: si lo hacemos con el año en que nos encontramos, el 2009.

9002 – 2009 = 6993

9963 – 3699 =  6264

6642 – 2466 = 4176

7641 – 1467 = 6174

7641 – 1467 = 6174

Y aquí entramos en un bucle continuo. Al llegar al 6174, el resultado se repite constantemente. (Si cuando hacemos la operación, aparecen números de menos de cuatro dígitos, nos bastará  rellenar con ceros a la izquierda.)

Lo curioso del asunto, es que sin tener en cuenta el número por el que empezamos, mientras tenga cuatro dígitos y no sean todos iguales, llegaremos siempre al número 6174. Se puede averiguar porqué ocurre esto, si examinamos cómo se comporta cada dígito mientras realizamos las operaciones, o probando con los 8991 números de esta clase que existen entre el número 1000 y el 9998. Siempre se alcanza el número 6174 antes de que demos un máximo de siete pasos, aunque normalmente llegamos con tres pasos. Los que sepan de programación, pueden utilizar el código del Generador de Series de Kaprekar para aseverar estas secuencias.

¿Es el 6174 el único número con esta propiedad?

No, pero si investigamos qué ocurre con otros números de distinta longitud, nos aporta más dilemas que acalaraciones.

– Si probamos con los números de dos dígitos, no se llega nunca a un número fijo, sino que entramos en un bucle cíclico del tipo 09, 81, 63, 27, 45, 09.

– Con tres dígitos, alcanzamos el 495.

– Para cuatro dígitos el número es el susodicho y misterioso 6174.

– Con cinco dígitos, no existe número fijo, sino tres ciclos (encima de distinta longitud).

– Para seis dígitos, podemos llegar al 549945, al 631764 o a un ciclo de siete números.

– Con siete dígitos, tampoco existe un número fijo, sino un único ciclo de nueve números.

– Para ocho y nueve, hay otro par de números en cada caso respectivamente.

– Con diez dígitos, podemos llegar a tres valores distintos: 6333176664, 9753086421 y 9975084201, o vernos dentro de cinco ciclos cortos.

– Alguien construyó un programa de ordenador para calcular hasta quince dígitos, con los que se pudo llegar a ocho resultados: dos números fijos o seis ciclos cortos.

Por ahora, ningún matemático tiene claro porqué sucede  esto y porqué con tres y cuatro dígitos, llegamos a un único número, mientras que con otro número de dígitos distinto, no se llega a ninguno, sino a diferentes ciclos, o incluso para complicar la cosa, a veces se llega a varios números posibles y también a ciclos.

¿Existe algún número con más dígitos que al final llegue a un sólo número parecido al 6174? Pues esto se desconoce, sería uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, o bien podría ser una coincidencia simplemente circunstancial.

Para honrar a su descubridor, el número 6174 se conoce también como Constante de Kaprekar.

Publicaciones relacionadas:

Pensar creativamente Matemagias: El truco del 1089 Truco aritmético en una reunión Adivinando el dígito tachado ¿Por qué se emplea normalmente la X para expresar una incógnita? Probabilidades en las Loterías del Estado